Revenir's Space

Gauss 型求积公式更详细的介绍可以阅读 Wolfram MathWorld 的相关文档GaussianQuadrature 在前面我们已经讨论了 Gauss-Legendre 求积公式和 Gauss-Chebyshev 求积公式，其基本思想均来自于 Thm 7.2，除此之外还有几类 Gauss 型求积公式，在这里做一个列表进行汇总 权函数 $\rho(x)$ 积分区间 $x_k$ 作为根所对应的多项式 $1$ $(-1,1)$ $P_n(x)$ Legendre多项式 $e^{-x}$ $(0,+\infty)$ $L_n(x)$Laguerre多项式 $e^{-x^2}$ $(-\infty,+\infty)$ $H_n(x)$Hermite多项式 $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ $(-1,1)$ $T_n(x)$第一类 Chebyshev 多项式 $\sqrt{1-x^2}$ $(-1,1)$ $U_n(x)$第二类 Chebyshev 多项式 $\sqrt{x}$ $(0,1)$ $\sqrt{x}P_{2n+1}(\s ...

关于 Chebyshev 多项式Chebyshev 多项式来自于 Chevyshev 微分方程 (1-x^2)\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}-x\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+n^2y=0\tag{9.1} (1-x^2)\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}-3x\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+n(n+2)y=0\tag{9.2}式 (9.1) 的解称为 第一类 Chebyshev 多项式，式 (9.2) 的解被称为第二类 Chebyshev 多项式. 第一类 Chebyshev 多项式写成三角形式即为 T_n(x)=\cos(n\arccos x),\ -1

关于 Legendre 多项式详见 Legendre 多项式（二）：Legendre 多项式 Legendre 多项式由下列表达式定义 P_0(x) = 1 P_n(x) = \dfrac1{2^nn!}\dfrac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\left[(x^2-1)^n\right],\ n=1,2,\cdots\tag{8.1}Legendre 具备以下性质： 正交性：不同阶 Legendre 多项式在 $[-1,1]$ 上正交. \int^1_{-1}P_n(x)P_m(x)\mathrm{d}x\equiv0,\ n\neq m\tag{8.2} 递推性：可以推导出 $P_0(x)=1,\ P_1(x)=x$，且满足递推关系 P_{n+1}(x)=\dfrac{2n+1}{n+1}xP_n(x)-\dfrac{n}{n+1}P_{n-1}(x),\ n=1,2,\cdots\tag{8.3} Legendre 多项式的根为在 $[-1,1]$ 上的实根，且彼此不相等. Gauss-Legendre 积分更详细的介绍可以阅读 Wolfr ...

按照前面所介绍的思想，利用积分中值定理 \int^b_af(x)\mathrm{d}x=(b-a)f(\xi),\ \xi\in(a,b) 选取 $[a,b]$ 上离散点函数值的加权平均值作为 $f(\xi)$ 的近似值，得到机械求积公式 \int^b_af(x)\mathrm{d}x\approx \sum^n _{k=0}A_kf(x_k)\tag{7.1}将定积分的计算转化成被积函数的函数值计算，其中 $A_k$ 是求积系数， $f(x_k)$ 是求积节点. 代数精度Definition 7.1 如果对于所有次数不超过 $m$ 的多项式 $f(x)$，求积公式都精确成立，但对次数为 $m+1$ 的多项式不精确成立，则称该求积公式具有 $m$ 次代数精度. 以 Simpson 法则为例 \int^b_af(x)\mathrm{d}x\approx\dfrac{b-a}{6}\left[f(a)+4f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]具备三次代数精度. 对于 Newton-Cotes 求积公式 \int^b_af(x)\mathrm ...

$n$ 阶 Legendre 多项式肯定是 $n$ 阶 Legendre 方程的解，对 $m$ 阶同理，因此有 (1-x^2)\dfrac{\mathrm{d}^2P_n(x)}{\mathrm{d}x^2}-2x\dfrac{\mathrm{d}P_n(x)}{\mathrm{d}x}+n(n+1)P_n(x)\equiv 0\tag{3.1}(1-x^2)\dfrac{\mathrm{d}^2P_m(x)}{\mathrm{d}x^2}-2x\dfrac{\mathrm{d}P_m(x)}{\mathrm{d}x}+m(m+1)P_m(x)\equiv 0\tag{3.2}将 $(1)\times P_m(x)-(2)\times P_n(x)$ 在 $[-1,1]$ 上积分可得 \int^1_{-1}\left(P_m(x)\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left((1-x^2)\dfrac{\mathrm{d}P_n(x)}{\mathrm{d}x}\right)-P_n(x)\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\lef ...

求解如下 Legendre 方程 (1-x^2)\dfrac{\mathrm{d}^2y(x)}{\mathrm{d}x^2}-2x\dfrac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x}+l(l+1)y(x)=0,\quad -1\leqslant x\leqslant 1\tag{2.1} 需要注意 $y(x)$ 应当是有限的. 解这个方程就是一个 Liouville 本征值问题，对 $y(x)$ 进行幂级数展开 $y(x)=\sum^{\infty}_{n=0}a_nx^n$ ，可以得到系数满足 a_{k+2}=\dfrac{(k-1)(k+l+1)}{(k+1)(k+2)}a_k\tag{2.2}解写成线性组合形式 $y=a_0y_0(x)+a_1y_1(x)$ . 可以看出幂级数的收敛半径为 $R=1$. 为了使其收敛，最好的办法是使其自然截断为多项式. 假设 $l$ 为偶数，则可以使 a_{l+2}=0,\ a_1=0使 $y_0(x)$ 自然截断为多项式，并去掉依然发散的 $y_1(x)$ . 或者假设 $l$ 为奇数，使 a_{l+2}=0,\ a_0= ...

对于球坐标系下的 Laplace 方程 \dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}\left(r^2\dfrac{\partial u}{\partial r}\right)+\dfrac{1}{r^2\sin\theta}\left(\sin\theta\dfrac{\partial u}{\partial\theta}\right)+\dfrac{1}{r^2\sin^2\theta}\dfrac{\partial^2u}{\partial\phi^2}=0\tag{1.1}采用分离变量法 $u(r,\theta,\phi)=R(r)Y(\theta,\phi)$ ，其中 $R(r)$ 称为径向函数，$Y(\theta,\phi)$ 称为球谐函数. 得到 \dfrac{Y(\theta.\phi)}{r^2}\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r^2\dfrac{\mathrm{d}R(r)}{\mathrm{d}r}\right)+\dfrac{R(r)}{r\sin\theta}\dfrac{\ ...

微分计算双曲正割函数的一阶导数和二阶导数 u=\mathrm{sech}x\tag{6.1}一阶导数和二阶导数的表达式是我们已知的，如下 \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=-\mathrm{sech}x\mathrm{tanh}x\tag{6.2}\dfrac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}x^2}=\mathrm{sech}x-2\mathrm{sech}^3x\tag{6.3}首先定义计算区间和步长 12dx = 0.1; % 定义步长x = -10:dx:10; % 定义计算区间 按照解析式在 MATLAB 中绘制精确解 12345678u = sech(x);ux_exact = -sech(x).*tanh(x);uxx_exact = sech(x)-2*sech(x).^3;% 绘图figure(1);plot(x,u,x,ux_exact,x,uxx_exact);grid onlegend('u','ux','uxx'); 要计算数值解，我们可以使用 ...

可分解法则梯形法则仅给出了一个步长范围内的值，要计算整个区间上的值，就要把整个计算区间进行划分，对划分成的每个小区间使用梯形法则. 因此我们可以得到 \int^b_af(x)\mathrm{d}x\approx\sum^{N-1}_ {j=0}\dfrac{h}{2}(f_j+f_{j+1})=\dfrac{h}{2}\left(f_0+f_N+2\sum^{N-1}_ {j=1}f_j\right)\tag{5.1}上式即为复化梯形公式，其中 $h=\dfrac{b-a}{N}$. 如果使用 Simpson 法则，就会得到 \int^b_af(x)\mathrm{d}x\approx\sum^{N-1}_ {j=0}\dfrac{h}{6}(f_{2j}+4f_{2j+1}+f_{2j+2})=\dfrac{h}{6}\left(f_0+f_N+2\sum^{N-1}_ {j=1}f_{2j}+4\sum^{N-1}_ {j=0}f_{2j+1}\right)\tag{5.2}上式即为复化 Simpson 公式，其中 $h=\dfrac{b-a}{2N}$. 精度递归改进以梯形法则 ...

梯形法则和中矩法则计算定积分 I=\int^b_af(x)\mathrm{d}x\tag{4.1}一种思路是利用积分中值定理对其进行近似. Theorem 4.1 \exists\ \xi\in(a,b),\ \text{s.t.}\int^b_af(x)\mathrm{d}x=f(\xi)(b-a) 这就需要对 $f(\xi)$ 进行近似. 显然可以用计算区域两端的函数值平均对其进行近似，这样就会得到梯形法则 I=\int^b_af(x)\mathrm{d}x\approx\dfrac{f(b)+f(a)}{2}(b-a)\tag{4.2}采用计算区域中点的函数值对其进行近似，就会得到中矩法则 I=\int^b_af(x)\mathrm{d}x\approx f(\frac{b+a}{2})(b-a)\tag{4.3}由于中矩法则需要中点的函数值，因此在实际中应用较少. 为了方便编写数值计算程序，用 $x_0$ 代替 $a$，用 $h$ 代替步长 $\Delta x$，计算点即 $x_k=x_0+hk$，用 $f_k$ 代替 $f(x_k)$. 由于式 (4.2) 中只需要两个点，因 ...