数值积分（一）：数值微分

一阶导数的二阶精度中心差分公式近似

对 $f(x+\Delta x)$ 作 Taylor 展开得到

$$f(x+\Delta x)=f(x)+\Delta x\dfrac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}+\dfrac{\Delta x^2}{2!}\dfrac{\mathrm{d}^2f(x)}{\mathrm{d}x^2}+\dfrac{\Delta x^3}{3!}\dfrac{\mathrm{d}^3f(\xi_1)}{\mathrm{d}x^3}\tag{1.1}$$

其中 $\xi_1\in(x,x+\Delta x)$ .

对 $f(x-\Delta x)$ 作 Taylor 展开得到

$$f(x-\Delta x)=f(x)-\Delta x\dfrac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}+\dfrac{\Delta x^2}{2!}\dfrac{\mathrm{d}^2f(x)}{\mathrm{d}x^2}- \dfrac{\Delta x^3}{3!}\dfrac{\mathrm{d}^3f(\xi_2)}{\mathrm{d}x^3}\tag{1.2}$$

其中 $\xi_1\in(x-\Delta x,x)$ .

两式相减可得

$$f(x+\Delta x)-f(x-\Delta x)=2\Delta x\dfrac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}+\dfrac{\Delta x^3}{3!}\left(\dfrac{\mathrm{d}^3f(\xi_1)}{\mathrm{d}x^3}+\dfrac{\mathrm{d}^3f(\xi_2)}{\mathrm{d}x^3}\right)\tag{1.3}$$

由介值定理可得

$$\exists\ \xi\in(\xi_2,\xi_1),\ \text{s.t.}\ f'''(\xi)=\dfrac12\left[f'''(\xi_1)+f'''(\xi_2)\right]\tag{1.4}$$

从而可得 $f(x)$ 一阶导数的中心差分公式

$$\dfrac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}=\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x-\Delta x)}{2\Delta x}-\dfrac{\Delta x^2}{6}\dfrac{\mathrm{d}^3f(\xi)}{\mathrm{d}x^3}\tag{1.5}$$

等式右侧第一项为一阶导数的近似值，第二项为截断误差，可以看出此时截断误差为 $\mathcal{O}(\Delta x^2)$ 。通过截去 $\Delta x$ 的更高阶项，可以获得更高精度的近似.

一阶导数的四阶精度中心差分公式近似

类似的，我们在展开式中截去 $\Delta x$ 的更高阶项，从而获得更高的精度，例如在 $\mathcal{O}(\Delta x^5)$ 处截去项，可以得到

$$f(x+\Delta x)=f(x)+\Delta x\dfrac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}+\dfrac{\Delta x^2}{2!}\dfrac{\mathrm{d}^2f(x)}{\mathrm{d}x^2}+\dfrac{\Delta x^3}{3!}\dfrac{\mathrm{d}^3f(x)}{\mathrm{d}x^3}+\dfrac{\Delta x^4}{4!}\dfrac{\mathrm{d}^4f(x)}{\mathrm{d}x^4}+\dfrac{\Delta x^5}{5!}\dfrac{\mathrm{d}^5f(\xi_1)}{\mathrm{d}x^5}\tag{1.6}$$

其中 $\xi_1\in(x,x+\Delta x)$ .

$$f(x-\Delta x)=f(x)-\Delta x\dfrac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}+\dfrac{\Delta x^2}{2!}\dfrac{\mathrm{d}^2f(x)}{\mathrm{d}x^2}-\dfrac{\Delta x^3}{3!}\dfrac{\mathrm{d}^3f(x)}{\mathrm{d}x^3}+\dfrac{\Delta x^4}{4!}\dfrac{\mathrm{d}^4f(x)}{\mathrm{d}x^4}-\dfrac{\Delta x^5}{5!}\dfrac{\mathrm{d}^5f(\xi_2)}{\mathrm{d}x^5}\tag{1.7}$$

其中 $\xi_2\in(x-\Delta x,x)$ .

两式相减可得

$$f(x+\Delta x)-f(x-\Delta x)=2\Delta x\dfrac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}+\dfrac{2\Delta x^3}{3!}\dfrac{\mathrm{d}^3f(x)}{\mathrm{d}x^3}+\dfrac{\Delta x^5}{5!}\left(\dfrac{\mathrm{d}^5f(\xi_1)}{\mathrm{d}x^5}+\dfrac{\mathrm{d}^5f(\xi_2)}{\mathrm{d}x^5}\right)\tag{1.8}$$

上式中含有一个三阶项，这是我们不想要的. 去除的方法是用 $2\Delta x$ 替换 $\Delta x$ ，再与上式联立消掉三阶项. 首先用 $2\Delta x$ 替换 $\Delta x$ 得到

$$f(x+2\Delta x)-f(x-2\Delta x)=4\Delta x\dfrac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}+\dfrac{16\Delta x^3}{3!}\dfrac{\mathrm{d}^3f(x)}{\mathrm{d}x^3}+\dfrac{32\Delta x^5}{5!}\left(\dfrac{\mathrm{d}^5f(\xi_3)}{\mathrm{d}x^5}+\dfrac{\mathrm{d}^5f(\xi_4)}{\mathrm{d}x^5}\right)\tag{1.9}$$

再将式 (1.8) 乘以 8 并与之上式相减，再两次利用介值定理得到四阶精度的中心差分公式

$$\dfrac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}=\dfrac{-f(x+2\Delta x)+8f(x+\Delta x)-8f(x-\Delta x)+f(x-2\Delta x)}{12\Delta x}+\dfrac{\Delta x^4}{30}\dfrac{\mathrm{d}^5f(\xi)}{\mathrm{d}x^5}\tag{1.10}$$

可以看出此时的截断误差为 $\mathcal{O}(\Delta x^4)$ .

更高阶导数的中心差分公式近似

方法与之前类似，仍然从式 (1.1) (1.2) 入手，在 $\mathcal{O}(\Delta x^4)$ 处截去项，将两式相加，得到

$$f(x+\Delta x)+f(x-\Delta x)=2f(x)+\Delta x^2\dfrac{\mathrm{d}^2f(x)}{\mathrm{d}x^2}+\dfrac{\Delta x^4}{4!}\left(\dfrac{\mathrm{d}^4f(\xi_1)}{\mathrm{d}x^4}+\dfrac{\mathrm{d}^4f(\xi_2)}{\mathrm{d}x^4}\right)\tag{1.11}$$

与前面的思路类似，可以得到二阶导数的中心差分公式

$$\dfrac{\mathrm{d}^2f(x)}{\mathrm{d}x^2}=\dfrac{f(x+\Delta x)-2f(x)+f(x-\Delta x)}{\Delta x^2}+\dfrac{\Delta x^2}{12}\dfrac{\mathrm{d}^4f(\xi)}{\mathrm{d}x^4}\tag{1.12}$$

这种方法可以找到任意阶导数的近似.

小结

用前面的方法，可以近似得到二阶、三阶乃至更高阶的导数。

二阶精度的中心差分公式

一阶导数	$\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x-\Delta x)}{2\Delta x}$
二阶导数	$\dfrac{f(x+\Delta x)-2f(x)+f(x-\Delta x)}{\Delta x^2}$
三阶导数	$\dfrac{f(x+2\Delta x)-2f(x+\Delta x)+2f(x-\Delta x)-f(x-2\Delta x)}{2\Delta x^3}$
四阶导数	$\dfrac{f(x+2\Delta x)-4f(x+\Delta x)+6f(x)-4f(x-\Delta x)+f(x-2\Delta x)}{\Delta x^4}$

四阶精度的中心差分公式

一阶导数	$\dfrac{-f(x+2\Delta x)+8f(x+\Delta x)-8f(x-\Delta x)+f(x-2\Delta x)}{12\Delta x}$
二阶导数	$\dfrac{-f(x+2\Delta x)+16f(x+\Delta x)-30f(x)+16f(x-\Delta x)-f(x-2\Delta x)}{12\Delta x^2}$
三阶导数	$\dfrac{-f(x+3\Delta x)+8f(x+2\Delta x)-13f(x+\Delta x)+13f(x-\Delta x)-8f(x-2\Delta x)+f(x-3\Delta x)}{8\Delta x^3}$
四阶导数	$\dfrac{-f(x+3\Delta x)+12f(x+2\Delta x)-39f(x+\Delta x)+56f(x)-39f(x-\Delta x)+12f(x-2\Delta x)-f(x-3\Delta x)}{6\Delta x^4}$

需要注意的是，在计算区域的边界处，不能使用中心差分公式，这是因为并不是计算点两侧都有点，因此要使用向前差分公式或向后差分公式。

二阶精度的向前和向后差分公式

一阶向前差分	$\dfrac{-3f(x)+4f(x+\Delta x)-f(x+2\Delta x)}{2\Delta x}$
一阶向后差分	$\dfrac{3f(x)-4f(x-\Delta x)+f(x-2\Delta x)}{2\Delta x}$
二阶向前差分	$\dfrac{2f(x)-5f(x+\Delta x)+4f(x+2\Delta x)-f(x+3\Delta x)}{\Delta x^2}$
二阶向后差分	$\dfrac{2f(x)-5f(x-\Delta x)+4f(x-2\Delta x)-f(x-3\Delta x)}{\Delta x^2}$