数值积分（二）：数值微分的误差

数值舍入造成的误差

当步长 $\Delta x\to0$ 时，截断误差理应减小，然而这是忽略舍入误差的情况.

大多数的计算中，使用的 double 型数据为 16 字节，在数值计算中舍入造成的误差不可忽略.

考虑下面这个一阶导数的近似值

$$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{y(x+\Delta x)-y(x-\Delta x)}{2\Delta x}+\varepsilon(y(x),\Delta x)\tag{2.1}$$

其中的 $\varepsilon(y(x),\Delta x)$ 就是估算的截断误差. 在计算机上求解时，会产生舍入误差

$$y(x+\Delta x)=Y(x+\Delta x)+e(x+\Delta x)\tag{2.2a}$$ $$y(x-\Delta x)=Y(x-\Delta x)+e(x-\Delta x)\tag{2.2b}$$

其中 $Y$ 是计算机给出的近似值，$e$ 是近似值与真值之间的误差值.

同时考虑 $e$ 和 $\varepsilon$ ，式 (2.1) 就可以写成

$$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{Y(x+\Delta x)-Y(x-\Delta x)}{2\Delta x}+E(y(x),\Delta x)\tag{2.3}$$

其中 $E$ 是总误差，包括了截断误差和舍入误差，即

$$E=E_\text{round}+E_\text{trunc}=\dfrac{e(x+\Delta x)-e(x-\Delta x)}{2\Delta x}-\dfrac{\Delta x^2}{6}\dfrac{\mathrm{d}^3y(\xi)}{\mathrm{d}x^3}\tag{2.4}$$

舍入误差可以被控制，最大值为 $e_r$；截断误差也存在一个最大值，设为 $M$，从而得知最大误差

$$|E|\leqslant\dfrac{e_r}{\Delta x}+\dfrac{\Delta x^2}{6}M\tag{2.5}$$

从上式可以得知一个事实：并不是步长越小计算就越精确. 当 $\Delta x\to 0$ 时，截断误差会减小，而舍入误差会增大.

用同样的方法可以计算出四阶精度情况下的最大误差

$$|E|\leqslant \dfrac{2e_r}{2\Delta x}+\dfrac{\Delta x^4}{30}M\tag{2.6}$$

最佳步长

当误差取最小时，意味着其对步长的偏导数为 0. 对二阶精度的情况，即

$$\dfrac{\partial |E|}{\partial (\Delta x)}=-\dfrac{e_r}{\Delta x^2}+\dfrac{\Delta x}{3}M=0\tag{2.7}$$

可以得到最佳步长

$$\Delta x=\left(\dfrac{3e_r}{M}\right)^{1/3}$$

对四阶精度的情况同样可以计算出

$$\Delta x=\left(\dfrac{45e_r}{4M}\right)^{1/5}$$