数值积分（三）：数值积分

数值积分的任务

计算定积分时，首先会想到积分的定义

Definition 3.1

$$I=\int^b_af(x)\mathrm{d}x=\lim_{h\to\infty}\sum^N_{j=0}f(x_j)h\tag{3.1}$$

其中 $N=\dfrac{b-a}{h}$ .

因此可以认为定积分就是将计算区域内的一个个矩形面积累加. 对于任意剖分计算区域，也可以写成如下的形式

$$Q[f]=\sum^N_{j=0}w_jf(x_j)\tag{3.2}$$

因此积分可以写成

$$\int^b_af(x)\mathrm{d}x=Q[f]+E[f]\tag{3.3}$$

其中 $E[f]$ 是数值计算近似值和真值之间的误差，主要源自截断误差.

用多项式 $P_n$ 对 $f(x)$ 拟合，很自然的就可以得到 Newton-Cotes 公式 .

$$P_n=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0\tag{3.4}$$

此时截断误差即可近似于多项式的第 n+1 次微分

$$E[f]=A\dfrac{\mathrm{d}^{n+1}f(\xi)}{\mathrm{d}x^{n+1}}\tag{3.5}$$

其中 $A$ 为一个常数.

为了对 $f(x)$ 进行多项式拟合，会用到拉格朗日插值，从而得到一系列定积分计算法则，这会在下一节介绍.