$n$ 阶 Legendre 多项式肯定是 $n$ 阶 Legendre 方程的解,对 $m$ 阶同理,因此有

将 $(1)\times P_m(x)-(2)\times P_n(x)$ 在 $[-1,1]$ 上积分可得

对上式第一项使用分部积分法,得到

那么显然,上式第一项为0,第二项也为0,因此可以得到

如果 $n\neq m$ ,自然有

这说明,不同阶 Legendre 多项式具有正交性.

因此,Legendre 多项式可以作为 $[-1,1]$ 上连续函数空间的正交完备基底,即

其中

这种以一组正交基分解的方式被称为广义 Fourier 变换.