Legendre 多项式(三):Legendre 多项式的正交性及广义 Fourier 变换
$n$ 阶 Legendre 多项式肯定是 $n$ 阶 Legendre 方程的解,对 $m$ 阶同理,因此有
将 $(1)\times P_m(x)-(2)\times P_n(x)$ 在 $[-1,1]$ 上积分可得
对上式第一项使用分部积分法,得到
那么显然,上式第一项为0,第二项也为0,因此可以得到
如果 $n\neq m$ ,自然有
这说明,不同阶 Legendre 多项式具有正交性.
因此,Legendre 多项式可以作为 $[-1,1]$ 上连续函数空间的正交完备基底,即
其中
这种以一组正交基分解的方式被称为广义 Fourier 变换
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