数值积分（八）：Guass-Legendre 积分

关于 Legendre 多项式

详见 Legendre 多项式（二）：Legendre 多项式

Legendre 多项式由下列表达式定义

$$P_0(x) = 1$$ $$P_n(x) = \dfrac1{2^nn!}\dfrac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\left[(x^2-1)^n\right],\ n=1,2,\cdots\tag{8.1}$$

Legendre 具备以下性质：

• 正交性：不同阶 Legendre 多项式在 $[-1,1]$ 上正交.

$$\int^1_{-1}P_n(x)P_m(x)\mathrm{d}x\equiv0,\ n\neq m\tag{8.2}$$

• 递推性：可以推导出 $P_0(x)=1,\ P_1(x)=x$，且满足递推关系

$$P_{n+1}(x)=\dfrac{2n+1}{n+1}xP_n(x)-\dfrac{n}{n+1}P_{n-1}(x),\ n=1,2,\cdots\tag{8.3}$$

• Legendre 多项式的根为在 $[-1,1]$ 上的实根，且彼此不相等.

Gauss-Legendre 积分

更详细的介绍可以阅读 Wolfram MathWorld 的相关文档 Legendre-GaussQuadrature

由 Legendre 多项式的性质，当 $\rho(x)=1$ 时，且积分区间为 $[-1,1]$ ，Legendre 多项式的根即为 Gauss 点，从而得到 Gauss-Legendre 积分.

$$\int^1_{-1}f(x)\mathrm{d}x\approx\sum^n_{k=0}A_kf(x_k)\tag{8.4}$$

其误差余项为

$$E_{n+1}=\dfrac{2^{2n+3}[(n+1)!]^4}{(2n+3)[(2n+2)!]^3}\dfrac{\mathrm{d}^{2n+2}f(\xi)}{\mathrm{d}x^{2n+2}},\ \xi\in(-1,1)\tag{8.5}$$

对于 $[a,b]$ 上的积分，只需做线性变换即可得

$$\int^b_af(x)\mathrm{d}x=\dfrac{b-a}{2}\int^1_{-1}f(\dfrac{b-a}{2}t+\dfrac{a+b}{2})\mathrm{d}t\tag{8.6}$$