关于 Chebyshev 多项式

Chebyshev 多项式来自于 Chevyshev 微分方程

式 (9.1) 的解称为 第一类 Chebyshev 多项式，式 (9.2) 的解被称为第二类 Chebyshev 多项式.

第一类 Chebyshev 多项式写成三角形式即为

令 $x=\cos\theta$ 即可得到

可以看出 $T_n(x)$ 是 $n$ 次代数多项式，使用 Euler 公式处理可得

设 $x^n$ 项的系数为 $a_n$ ，可以求出

由式（9.4）可得在 $[-1,1]$ 上有 $|T_n(x)|\leqslant1$，并且有 $n$ 个不相等的实根

由式 (9.4) 还可判断出，当 $n$ 为偶数时 $T_n(x)$ 是偶函数，反之是奇函数. 除奇偶性外，Chebyshev 多项式还具有正交性完备性等性质. 与 Legendre 多项式类似的，Chebyshev 多项式也存在递推关系

通过这个递推关系，很容易通过编写 MATLAB 程序得到各阶 Chebyshev 多项式的图像，绘制在一张图上

Chebyshev 多项式

绘制代码如下，这里取 $n=7$

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n = 7;

x = -1:0.01:1;
t = zeros(n,length(x));

t(1,:) = 1;
t(2,:) = x;

for i = 3:n
    t(i,:) = 2*x.*t(i-1,:) - t(i-2,:);
end

figure;
for j = 1:n
    plot(x,t(j,:),'LineWidth',1);hold on
    grid on;
end

此外还有一个导数形式的递推关系，可从下面的式子得出

Gauss-Chebyshev 求积公式

更详细的介绍可以阅读 Wolfram MathWorld 的相关文档 Chebyshev-GaussQuadrature

与 Legendre 多项式类似，由于 Chebyshev 多项式具备正交性等性质，因此可以用于 Gauss 型积分.

为了计算 Gauss-Chebyshev 积分的求积系数，从 Gauss 型积分的定义出发，即要具备 $2n+1$ 次代数精度，首先需要计算如下积分

当 $n$ 为奇数时，被积函数为奇函数，积分为 0.

当 $n$ 为偶数时，被积函数为偶函数

记积分

不难看出右边第一项为 $I_{n-2}$ ，并对第二项使用分部积分法

最终得到 $In=I{n-2}-\dfrac{1}{n-1}I_n$，即

$n$ 为偶数时即 Wallis 公式

求积公式

对 $2n+1$ 次都要精准成立，取 Chebyshev 多项式的零点为 Gauss 点

列表

$n$ $\int^1_{-1}\dfrac{x^n}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x$
$n=0$ $\pi$
$n=1$ 0
$n=2$ $\dfrac12\pi$
$n=3$ 0
$n=4$ $\dfrac34\dfrac12\pi$
$n=5$ 0
$n=6$ $\dfrac56\dfrac34\dfrac12\pi$

解线性方程组并类推可得

因此可得 Gauss-Chebyshev 求积公式

该求积公式的误差余项为

对于非 $[-1,1]$ 上的积分，可类比式 (8.6) 做线性变换，以及采用复化求积的办法

另一种形式的 Gauss-Chebyshev 积分

此种 Gauss-Chebyshev 积分来自于第二类 Chebyshev 多项式即式 (9.2) 的解，与第一类 Chebyshev 多项式具有相似的性质. 从中推导出的求积公式形式如下

其中